Amérique du Nord, mars 2023 (partiel)

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal. 
On considère une fonction  \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) . On note  \(f^\prime\) sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^\prime\) .

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^\prime\) . Aucune justification n’est demandée.

1. Donner le sens de variation de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb{R}\) . On utilisera des valeurs approchées si besoin.

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction  \(f\) semble être convexe.

Partie B

On admet que la fonction  \(f\) de la partie  \(\mathbf{A}\) est définie sur  \(\mathbb{R}\) par  \(f(x)=(x^2-5x+6)e^x\) .
On note  \(C\) la courbe représentative de la fonction  \(f\) dans un repère.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\) , on a \(f^\prime(x)=(x^2-3x+1)e^x\) .

2. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) .

3. Déterminer l’équation réduite de la tangente  \((\mathcal{T})\) à la courbe  \(C\) au point d’abscisse \(0\) .

On admet que la fonction  \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) . On note  \(f^{\prime{\prime}}\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\) . On admet que, pour tout réel \(x\) , on a \(f^{\prime{\prime}}(x)=(x+1)(x-2)e^x\) .

4. a. Étudier la convexité de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
    b. Montrer que, pour tout  \(x\) appartenant à l’intervalle \([-1\,;2]\) , on a \(f(x)\leqslant x+6\) .